2025年考研数二二重积分的讲解
1、二重积分是考研数学二中的一个核心考点，它涉及对平面区域内函数值的累积求和。在2025年的考研中，二重积分的计算和应用将占据重要地位，特别是在利用轮换对称性求解方面，考生需要熟练掌握相关技巧。二重积分的计算方法 设定极坐标：对于给定的积分区域，可以首先画出积分区域，然后设定极坐标。
2、第一方框后一个二重积分表示积分域的面积 x^2+y^2/4 = 1-z， 即 椭圆 ：x^2/(1-z)+y^2/[4(1-z)] = 1 其面积 S = πab = π√(1-z) 2√(1-z) = 2π(1-z)故 = 3*2π ∫ z(1-z) dz 第二个方框，积分域关于 x， y 轴都对称，故奇函数 3xy 积分是 0。
3、结论：求解考研数学中的二重积分导数问题，实际上是对被积函数进行两次求导操作。以∫d(x)∫arctanH(y)dy为例，首先假设∫arctanH(y)dy表示为F(x)，这个积分可视为F(x)关于t的函数。根据定积分的性质，原式等同于∫F(x)dt。
4、如图所示：图二：当f(x，y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为：由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。
5、考研二重积分中的形心计算公式是∫∫D xdxdy=重心横坐标×D的面积，∫∫D ydxdy=重心纵坐标×D的面积。面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。