考研数学极限题必杀技:积分放缩法轻松破解调和级数
选择合适的积分区间：在使用积分放缩法时，我们需要选择合适的积分区间来建立不等式关系。一般来说，我们可以选择以每一项的序号k为积分下限，以k+1为积分上限的积分区间来建立不等式关系。
然后利用已知极限结果求解。不过，更精确的放缩应是将每一项放缩为$frac{1}{n}-frac{1}{n+1}$，这样求和后大部分项会相互抵消，从而简化求解过程。数列求和：在求某些特殊数列的和时，如调和级数部分和，虽然无法求出精确值，但可以通过放缩来估计其范围。
积分放缩：在涉及面积或体积的问题中，可以通过比较几何图形的面积或体积来放缩数列。级数比较：当处理级数时，可以通过比较各项的放缩来推导级数的收敛性。注意点：在使用数列放缩方法时，需要注意以下几点：保证放缩的方向正确，不能随意放大或缩小，否则可能导致错误的结论。
调和级数 an=1/n；发散。证明方法如下：即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法：若vnvn是发散的，在nN，总有un≥vnun≥vn，则unun也是发散的。调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。
an ≤ a1 / (1 - q)^n 当 q 1；an ≥ a1 * q^(n-1) 当 q 1。调和级数放缩 对于正项数列 {an} 且单调递减，可以使用与调和级数比较的方法进行放缩：若 an ≥ 1/n，则可使用 ∑(1/n) 作为放缩基准；若 an 1/n，则可使用 ∑(1/(n^2)) 作为放缩基准。
关于调和级数 1/n 的发散性质与 n^2 的 1/n^2 的收敛性质，数学界提供了多种论证方法。其中，中学数学水平的放缩法用于证明调和级数的发散性较为直接。而对于 1/n^2 的收敛性，则可通过中学数学中的比较判别法、Cauchy 凝聚判别法、Cauchy 积分判别法等方法来验证。