如何证明一个数列是有界的?
数列有界性的证明方法主要有以下三种：第一种方法是使用单调性定理。如果一个数列从第n项开始单调递增或递减，那么该数列一定有界。这是因为，当数列单调递增时，随着n的增大，数列的项也逐渐增大，但是它们不会超过某个固定的界限。第二种方法是使用极限定理。
如下：设有一个收敛的数列｛a_n｝以及它的一个子数列｛a_(b_n)｝，于是首先我们知道有对于任意的n总有b_n=n。回忆一下上面的定义，我们需要证的是：对于任意给定的ε0，存在正整数N满足当nN时总有|a_(b_n)-a|ε。
证明：因为数列{Xn}有界，所以不妨假设|Xn|M(M0)，因为数列{Yn}的极限是0，则对于任意给出的e，总存在N，使得nN时，|Yn|e/M，于是当nN的时候|XnYn|=|Xn||Yn|M*e/M=e。由于e的任意性，所以数列{XnYn}的极限是0。
证明存在一个正的常数M，使得对一切正整n，都有Ⅰanl≤M。那么数列{an}是有界的。也可以证明{an}↗，并且an≤A 则{an}是有界的。或者证明{an}↘，并且an≥B，则{an}是有界的。
判定一个数列是否有界，通常有以下几种方法：直接法：直接观察数列的前几项，看是否存在一个实数，使得所有的项都小于等于或大于等于这个实数。数学归纳法：假设数列的前n项有界，然后证明第n+1项也有界。如果能够证明这一点，那么就可以说整个数列都有界。
高数中值定理证明题?
1、当x0时，x/(1+x)x/(1+ξ)x，即x/(1+x)ln(1+x)x。供参考。
2、思路：设F(x)=f(x)*e^(-x)，证明F(x)的导数恒等于零，所以函数F(x)≡C，再证明这个常数C=1即可。F(x)=e^(-x)[f(x)-f(x)]=0，所以F(x)=C。因为F(0)=f(0)=1，所以C=1。所以e^(-x)f(x)=1，f(x)=e^x。
3、(1)根据连续的定义来证明。对任意ε0，取δ＝(ε/M)^(1/α)，当|x1-x2|δ时，便有|f(x1)-f(x2)|=M|x1-x2|^αε，于是f(x)连续。
4、楼上的解法是错误的，k1是表示k的范围，不是对任意的k成立。