在考研数学中，以下是一些常见的定理，需要考生在复习过程中掌握并证明：
1. 二项式定理：对于任何实数\(a\)和\(n\)，有\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k}b^k\)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有\(\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_ib_i\right)^2\)。
3. 罗尔定理：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导，并且在端点\(a\)和\(b\)处的函数值相等，即\(f(a) = f(b)\)，那么至少存在一点\(c \in (a, b)\)，使得\(f'(c) = 0\)。
4. 拉格朗日中值定理：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导，那么至少存在一点\(c \in (a, b)\)，使得\(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)。
5. 等差数列的求和公式：对于首项为\(a_1\)，公差为\(d\)的等差数列，其前\(n\)项和\(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)。
6. 等比数列的求和公式：对于首项为\(a_1\)，公比为\(q\)的等比数列，其前\(n\)项和\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)，其中\(q \neq 1\)。
7. 牛顿-莱布尼茨公式：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导，那么\(f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) \, dx\)。
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