数学一:曲面积分那里,取外侧,上侧,下侧,乱七八糟的什么呀,有没有明白...
第一个等号是三阶矩阵的计算第二个等号运用的是第二型曲面积分的反推，而不是高斯公式 高斯公式的适用对象是“空间有界区域Ω“。
曲面积分投影转换法
曲面Z=x^2+y^2的法向量为n=(-2x， -2y， 1)。那么曲面在三个坐标平面上的投影满足：dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。曲面积分 平面面积(Δσ)是曲面面积(ΔS)在xOy面下的投影。曲面积分中有与不同面对应的三个方向余弦。
曲面积分投影转换法是计算第二类曲面积分的重要方法，其核心是将曲面上的积分转换为平面区域上的二重积分。该方法通过投影修正曲面倾斜对面积微元的影响，适用于曲面可投影到某一坐标平面的情形，尤其在不满足高斯公式封闭条件时优势显著。
可将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分的形式，进而利用投影法简化计算。 投影转换公式的推导当曲面Σ投影到$xOy$平面时，设投影区域为$D_{xy}$，则$dS = frac{dxdy}{|cosgamma|}$。
第二类曲面积分可以通过将曲面Σ投影到坐标平面上，并利用面积元素dS与投影面积元素之间的关系进行转换。这种转换涉及到曲面法向量与坐标平面法向量的点积和夹角的余弦值。在特定条件下，第一类曲面积分可以视为第二类曲面积分的一种特殊情况，其中被积函数只与曲面的位置有关，而与方向无关。
每个投影的面积元素dS可以通过对应坐标平面的法向量与曲面法向量的点积除以夹角余弦得到，即dxdy = cosαdS， dxdz = cosβdS， dydz = cosγdS。