如何证明“收敛数列的极限是唯一的”?
1、收敛数列的极限是唯一的，可通过反证法结合数列极限的定义进行证明，具体步骤如下：提出反设：假设收敛数列${X_n}$有两个不同的极限，设$limlimits_{n to infty} X_n = A$且$limlimits_{n to infty} X_n = B$，其中$A neq B$。不妨设$A B$。
2、本视频是高等数学系列教学视频之一，该系列教学视频是系统的教学视频，有助于非数学专业学生更好地学习高等数学及考研。每周周二四六更新。
3、要证明“收敛数列的极限是唯一的”，可以按照以下步骤进行：证明：设定条件：设数列$xn$的极限分别为$a$和$b$，即$lim{n to infty} xn = a$，$lim{n to infty} x_n = b$。
【考研】通项由递推公式给出的数列求极限已知x0=0,x【n】=(1+2x【n...
1、示例：若递推式为 $x_{n+2} = 4x_{n+1} - 4x_n$，特征方程为 $x^2 - 4x + 4 = 0$，解得重根 $m = 2$。通项公式为 $x_n = (A + B n) cdot 2^n$。
2、单调有界准则适用场景：数列以递推公式给出（如 ( a_{n+1} = f(a_n) )），且需证明极限存在。操作步骤：证明单调性：通过数学归纳法或不等式推导，证明数列单调递增或递减。证明有界性：找到数列的上界或下界（如 ( a_n leq M ) 或 ( a_n geq m )）。
3、若x1≠x2 则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。【注】形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A，C不为0的分式递推式都可用不动点法求。
4、因此，0 X Xk 1/2。所以，对于所有的n，都有0 Xn 1/2。数列极限求解：已知数列{Xn}有界且单调递减，所以数列的极限存在，设为k。对递推公式X = Xn 2Xn2两边取极限，得到k = k 2k2。化简得：2k2 = 0，解得k = 0。因此，当n趋近于正无穷时，数列{Xn}的极限为0。