考研数学涉及多个公式和定理，以下是一些基础且重要的公式：
1. 微积分基本定理：如果函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么有
\[ \int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \]
2. 定积分换元法：设\( u = g(x) \)，\( du = g'(x) \, dx \)，则
\[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]
3. 高斯公式（散度定理）：设\( S \)为空间闭区域\( D \)的表面，\( S \)取外侧，\( P \)、\( Q \)、\( R \)是\( x \)、\( y \)、\( z \)方向上的偏导数，则
\[ \iiint_{D} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \]
4. 拉格朗日中值定理：如果函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，并且在开区间(a, b)内可导，那么存在\( \xi \in (a, b) \)，使得
\[ f(b) - f(a) = f'(\xi) \cdot (b - a) \]
5. 二项式定理：对于任意实数\( x \)和\( y \)，正整数\( n \)，有
\[ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \]
6. 线性代数中的行列式公式：对于\( n \times n \)的方阵\( A \)，其行列式\( |A| \)满足
\[ |A| = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]
其中，\( S_n \)是所有\( n \)个元素的排列组成的集合。
7. 概率论中的期望公式：设\( X \)是一个离散型随机变量，\( p_i \)是\( X \)取值\( x_i \)的概率，则
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \]
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