考研定理证明是考研数学中一个重要组成部分，主要考查考生对数学基本概念、性质的理解和应用能力。以下是一些常见的考研定理证明：
1. 二项式定理：展开二项式$(a+b)^n$，其中$n$为正整数。
2. 等差数列的求和公式：等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。
3. 等比数列的求和公式：等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$q$为公比。
4. 线性方程组的求解：线性方程组$\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_1\\a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_2\\\vdots\\a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_n\end{cases}$的解存在且唯一当且仅当系数矩阵的行列式不为0。
5. 多元函数的偏导数：设$z=f(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$。
6. 高阶导数：设$z=f(x,y)$，则二阶偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$，$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$。
7. 最值问题：设$f(x,y)$在区域$D$上连续，若$f(x,y)$在$D$内存在极值点$(x_0,y_0)$，则$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0$，$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0$。
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